Kaikki kirjoittajan paatoimittaja artikkelit

Voiko satelliitti lukea ajatuksiasi? Signaalia etsimässä

Tämä on jälleen yksi artikkeli sarjassamme satelliitin ajatuksenlukukyvystä. Artikkelin muut osat löytyvät täältä.


No, väistämätön on tapahtunut. Kun kaikki nämä analyysit osoittavat, että ELF-radiosignaaleilla voidaan hallita ihmisen havaintokykyä, päätin luoda laitteiston, jolla voidaan analysoida tämän spektrin osan signaaleja. Mitä löysin?

Kokoonpano

ELF-radion tutkiminen on suhteellisen yksinkertaista. Äänikortin analoginen mikrofoniliitäntä voi muuntaa radioaallot äänisignaaliksi. Spectrum Lab -ohjelman kaltaisella ohjelmalla voimme muuntaa tämän signaalin kuvaksi, jossa jokainen taajuus näkyy pylväänä. Yhden taajuuden lähetys luo siis suoran viivan. Yleissääntönä on, että mitä ohuempi ja suorempi viiva on, sitä monimutkaisempi lähettimen on oltava.

Tarvitset tähän erittäin hyvän äänikortin. Useimpien äänikorttien herkkyys on noin -50 db. Toisin sanoen et ”kuule” tätä heikompia signaaleja. Tässä artikkelissa esitetyt signaalit ovat hyvin heikkoja ja alkavat yleensä noin -85db:n kohdalla. Ne on äänitetty Creative Labsin kortilla, jonka herkkyys on -130db.

Antenni ei ollut mitään hienoa, itse asiassa päinvastoin. Kahden metrin kierretty parikaapeli, joka oli kiinnitetty tavalliseen mikrofoniliittimeen. Viimeinen metri oli kierretty irti ja kaapelit erotettu toisistaan 90 astetta. Muuten se vain makasi lattialla ja siinä oli tavallinen +20 db:n vahvistus käytössä. Ajatuksena oli määrittää alkukuva kohinasta minimoimalla viritetyn antennin antama vahvistus.

Lisäsin myös FFT-pituutta pitkän valotuksen luomiseksi. Tämä muistuttaa valokuvausta siinä mielessä, että lyhytaikaiset tapahtumat häivytetään ja pitkäaikaiset toistuvat kuviot tulevat näkyviin. Jos ajattelet liikennevalokuvia, joissa näkyy vain valojen jälkiä tai raitoja, periaate on samanlainen.

Tällaisia tekniikoita käytetään hitaasti liikkuvien järjestelmien, kuten tähtien liikkeen, käyttäytymisen selvittämiseen.

Toinen vaikutus on, että resoluutio paranee. Sen sijaan, että näkisimme taajuudet pylväinä, joiden leveys on hertzin tai enemmän, voimme analysoida spektriä hertzin kymmenesosiin asti. Saamme siis kuvan, joka on 10-15 kertaa yksityiskohtaisempi taajuuksien erottelun suhteen.

Spectrum Labin asetukset ovat täällä:

1. Aseta äänen syöttölaitteeksi ajuri (ei ASIO).

2. Valitse näytteenottotaajuudeksi 11025, aseta se 24 bittiä/näyte.

3. Aseta FFT-syötteen koko 524288:ksi.

Koko näytön tietojen saaminen kestää noin 2-3 tuntia.

Teoria

Sen lisäksi, että halusin nähdä tulokset, tarkoituksena oli saada kuva alueeni pitkäaikaisista voimakkaista sähkömagneettisista signaaleista. Toiveena oli, että tätä tietoa voidaan käyttää poistamaan osa tästä kohinasta vastaanottimen lopullisesta suunnittelusta ja datan jälkikäsittelystä.

Myös signaalin lähteestä voitaisiin tehdä joitakin perusanalyysejä. Taajuus, jolla on vakaa vastaanottovoima, viittaisi staattiseen tai liikkumattomaan lähettimeen. Taajuudet, jotka häipyvät ja häviävät, voivat liittyä ilmakehän heijastumiseen, liikkuvaan lähettimeen tai vaihtuviin lähettimiin.

Jotkin signaalit voivat liittyä itse vastaanottolaitteisiin, mutta vertaileva tutkimus ja komponenttien vaihto paljastavat signaalien lähteen.

Tämän teorian pohjalta suoritin kaksi koko näytön kattavaa skannausta, 3 tuntia myöhään illalla ja 3 tuntia päivällä.

Tulokset

Nyt mielenkiintoinen kohta. Ajoin viimeisten 48 tunnin aikana useita skannauksia eri resoluutioilla. Alustava matalan resoluution skannaus on nähtävissä täällä, ja se kattaa noin 5 minuutin ajanjakson. Joitakin mielenkiintoisia asioita pistää heti silmään: outoja päästöjä alle 400 Hz:n taajuudella, joitakin kapeakaistaisia kantoaaltoja ja staattista huminaa noin 1,6 kHz:n taajuudella.

Korkean resoluution skannauksia tehtiin kaksi sarjaa, toinen päivällä ja toinen yöllä. Ensimmäisen aikaleimakuvan näet täältä. Ensimmäinen asia, joka todella erottuu, on kapeakaistaisen kantoaallon tiheä kerrostuneisuus. Nämä signaalit jakautuvat kolmeen luokkaan: laitteistoni aiheuttamaan kohinaan, paikallisen ympäristön aiheuttamaan kohinaan tai suhteellisen voimakkaisiin signaaleihin. Selkeämpi kuva aikaleimojen poistamisesta on täällä.

Tässä kuvassa saamme ensimmäisen selkeän kuvan tästä staattisesta huminasta. Näemme, että se on ajautunut kaistan poikki, mikä viittaa jonkinlaiseen taustalla olevaan värähtelyyn. Lähdettä ei voida määrittää tässä vaiheessa.

Seuraavassa kuvassa alamme tutkia alle 1000 Hz:n taajuusaluetta. Tällä alueella palavat neuronit tuottavat heikkoja radiosignaaleja. Jälleen näemme tiheitä kantoaaltoja laajalla tehoalueella. Nämä tehotasot näyttävät olevan jollakin tavalla kvantittuneita, eli kantoaalloilla, joilla on tietty taajuusväli, on yleensä sama tehotaso. Taajuuksilla 125 Hz ja 250 Hz näemme signaalin, jonka voimakkuus kasvaa jaksoittain molemmilla taajuusalueilla. Voimme myös havaita saman kuvion epämääräisiä toistoja 125 Hz:n välein.

Kun tarkastelemme tätä viimeistä signaalia lähemmin, voimme nähdä, kuinka se toistuu eri taajuuserotuksella ja eri tehotasolla. Se on melkein kuin olisi olemassa kantoaaltojen kerroksia, jotka on tunnistettu etäisyyksien perusteella ja jotka ovat vain tietyn vastaanottimen herkkyyden ulottuvilla.

Toinen mielenkiintoinen signaali, joka esiintyi, oli tämä epävakaa värähtely noin 201 Hz:n taajuudella ja tämä noin 875 Hz:n taajuudella. Jälkimmäisen signaalin lähikuva on nähtävissä täällä.

Nyt pääsemme hyvin mielenkiintoiseen kuvaan. Kiinnitä huomiota ennemmin taustaan kuin etualaan. Huomaatko vaakasuorat viivat? Kyseessä on laajakaistalähetys, joka kestää minuutin tai kaksi, minkä jälkeen lähetetään uusi muunnelma tästä signaalista. Tällaista odotan näkeväni tiheästä kapeakaistaisesta verkosta, kuten ELF/VLF-vaiheistetusta järjestelmästä tai taajuusmultipleksoinnista. Suuremmilla skannausnopeuksilla tämä rakenne olisi näkymätön ja sen pitäisi näyttää satunnaiselta kohinalta.

Siinä kaikki päiväsajan signaalit, nyt tarkastellaan samaa spektrialuetta yöllä. Tässä ovat jälleen kerran kuvat havaitusta spektristä aikaleiman kanssa ja ilman aikaleimaa.

Heti voimme havaita uuden joukon erittäin voimakkaita kantoaaltoja, jotka ovat 1024 Hz:n etäisyydellä toisistaan, ja erittäin tiheän kapeakaistaisen viestinnän alle 600 Hz:n alueella. On mielenkiintoista huomata, että voimme sulkea pois näiden kantoaaltojen paikallisen lähteen, joten kyseessä ei ole vastaanottolaitteeni tuottama signaali tai harmoninen taajuus.

Kun tarkastelemme lähemmin tätä alle 600 Hz:n aluetta, joka on alue, johon suurin osa neuroneista reagoi, voimme havaita erittäin tiheän kapeakaistaisen kantoaaltojen pakkauksen. Tällä resoluutiolla taajuuden vakauden määrittäminen voi olla mahdotonta, mutta en sulje pois jonkinlaista mikrohertsin kanavan erottelua tämän tarkemman näkymän vuoksi. Myös päivällä havaitsemamme ruudukkokuvio on nyt entistä selvempi, ja näemme näiden laajakaistalähetysten vaihtelevan sekä lähetys- että erotusaikojen suhteen. Seuraavat kuvat antavat meille tarkemman kuvan tästä ruudukkorakenteesta, ja ne ovat nähtävissä täällä, täällä, täällä ja täällä.

Riippumatta näiden signaalien lähteestä, ne ovat alueella, joka voi häiritä ihmisen kognitiota.

Seuraava vaihe on lisätä tulosignaalin vahvistusta, joten kunnollinen antenni ja muuttuva esivahvistin ovat seuraavat tavoitteeni.

 

Artikkelin julkaissut newsvine.com

Haastattelussa kapteeni Bill Uhouse: Takaisinmallinnetut UFOt, Area 51 & avaruusolento nimeltä J-Rod

Edesmennyt Bill Uhouse oli eläköitynyt koneinsinööri, joka työskenteli lentosimulaattorien ja lentotekniikan parissa. Hänellä oli uskomaton tarina kerrottavanaan, johon liittyi työskentely avaruusolentojen aluksen parissa, ja jopa avaruusolennon kanssa.

Bill Uhouse kertoi tarinansa kansalle eläkkeellä ennen vuonna 2009 tapahtunutta kuolemaansa.

Bill erikoistui lentosimulaattoreihin ja väitti, että hän oli kuulunut tiimiin, jonka tarkoitus oli kouluttaa ihmispilotteja lentämään avaruusolennoilta takaisinmallinnetuilla aluksilla.  Tämä tarina on hyvin samanlainen kuin Bob Lazarin. Billin väitteet ovat sisäisesti erittäin yhdenmukaisia ja hän puhuu ainoastaan aiheista, joista hänellä on ensikäden kokemusta. Hän ei spekuloi asioilla, eikä hänellä ole mitään henkilökohtaista hyötyä saatavana tällaisen tarinan sepittämisestä.

Hänen uransa alkoi merijalkaväessä, jossa hän palveli 10 vuoden ajan hävittäjälentäjänä, ennen työskentelyään Wright-Pattersonin lentotukikohdassa neljän vuoden ajan siviilinä, joka koeajoi kokeellisia aluksia.

Bill väitti toimineensa seuraavat yli 30 vuotta työskennellen eri sotateollisuuden alihankkijoille oikeiden lentolautasalusten simulaattoreihin erikoistuneena insinöörinä. Uhouse väitti, että ensimmäinen avaruusolentojen alus, jota hän koekäytti, oli takaisinmallinnettu lautanen, joka oli syöksynyt maahan Kingmanissa, Arizonassa vuonna 1958. Hän kertoi myös, miten avaruusolennot olivat tarjonneet alusta Yhdysvaltain hallitukselle, joka myöhemmin siirrettiin Area 51:lle, ennen neljän avaruusolennon lähettämistä Los Alamosiin.

Bill Uhouse Area 51

Kaikkein hämmentävin Uhousen esittämä väite oli, että hän oli työskennellyt yhdessä avaruusolennon kanssa, joka tunnettiin nimellä J-Rod. Uhousen mukaan J-Rod auttoi häntä ymmärtämään tiedettä, minkä avulla avaruusolentojen alusta kontrolloidaan.

Bill Uhousen tarina on huikea. Uhouse ei ole niin tunnettu kuin Lazar tai Phil Schneider, mutta tämä ei tee hänen väitteistään yhtään epäuskottavampia. Katsottuasi Uhousen haastattelun, voitkin siirtyä lukemaan Lonnie Zamoran UFO-tapauksesta.

 

Artikkelin julkaissut Donkey Junk

Ovikamera kuvasi olennon Ohiossa

Havaintopäivämäärä: 9. kesäkuuta 2022
Havaintopaikka: Canfield, Ohio, USA

Tämä ovikamera kuvasi energiaolennon sen ohittaessa etuoven. Kamera oli sellaisella asetuksella, että se kuvaa vain silloin kun se tunnistaa jonkin asian olevan ovella, ja nyt ovikamera tunnisti tämän henkilöksi ja kuvasi sen. On olemassa avaruusolentojen rotu, joka on puhdasta energiaa. Ne näkyvät vain taivaalla, hehkuvat kun ne ovat innoissaan. Ne näkyvät yleensä 8-50 olennon ryhmissä.

Kyllä, olen itsen nähnyt niitä, tämä video ei kuitenkaan anna kauhean hyvä kuvaa puhtaan energian olennosa. Kaupungin valot tekevät vaikeammaksi nähdä niitä kameralla. Etuoven kamera oli kuitenkin infrapunakamera, mikä mahdollistaa 100-prosenttisen selkeän kuvan tästä olennosta. Energiaolennon näkeminen on harvinaista. Ne ovat kiinnostuneita meistä, ja silloin kun me niitä näemme, ne tykkäävät leikkiä kanssamme, pysyä läsnä pari minuuttia. Tämä on 100-prosenttista näyttöä energiaolennoista maailmassamme.

Scott C. Waring,  Taiwan

Silminnäkijä kertoo:

Ovikamera etuovellani, kuvaussäätö oli asetettu yhden henkilön näkyvyyteen. Toinen kerta, kun kamerani on kuvannut tällaista kolmen aikaan yöllä.

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Mystinen kappale Australiassa

Havaintopäivämäärä: 2. kesäkuuta 2022
Havaintopaikka: New South Wales, Australia

Kiiltävä kappale taivaalla onkin lautanen, joka on kääntynyt kantilleen. Kappaletta on vaikeaa nähdä ellei se ole kääntynyt oikeansuuntaiseen kulmaan, ja silloinkin se on aina valkoinen tai metallinvärinen.

UFO näyttää samanlaiselta kuin Kalliovuorilla ja Denverissä näkyneet UFOt. Nämä UFOt ovat kaikkein yleisintä tyyppiä maailmassa ja vaikka ne ovat yksinkertaisia designiltaan, ne ovat 100-prosenttisesti avaruusolentojen aluksia ja ne voivat matkata valon nopeudella.

Scott C. Waring,  Taiwan

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Valopallo seurailee avaruusasemaa

Kuvasin tämän eilen mutta en kyennyt postaamaan sitä. Se näyttää pallolta ja sen ympärillä on sumeutta… samanlaista kuin UFOilla, kun niitä kuvataan kameralla. Luulin että se voisi olla SpaceX:n Dragon-kapseli, mutta mitään telakoitumista ei ollut käynnissä ja kapseli pitäisi olla tarkkarajainen eikä sumea. Tämä on omituinen. Se on suoraa napattu NASAn livestriimistä ja voi löytyä sieltä ehkä vieläkin, en tiedä.

Minulle tämä on ilmiselvästi avaruusolentojen teknologiaa, todellinen avaruusolentojen alus, joka seurailee avaruusasemaa.

Scott C. Waring,  Taiwan

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Hehkuvia valoja Arkansasissa

Havaintopäivämäärä: 6. toukokuuta 2022
Havaintopaikka: Jonesboro, Arkansas, USA
Lähde: Sähköpostiraportti

Tämä video useasta hehkuvasta valosta Arkansasissa on hämmentävä. Ne ovat kirkkaita ja oransseja. Ne lentävät pitkän aikaa taivaalla ja toinen toisensa perässä. Katso video.

Scott C. Waring,  Taiwan

Sähköpostissa lukee:

Valot lensivät suorassa linjassa, neljännesmailin etäällä toisistaan. Ne eivät pitäneet mitään ääntä 1-3 mailin päässä. En tiedä mitä ne olivat. Ne olivat erittäin uniikkeja, ei mitään ääntä ja minusta se oli tosi outoa.

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Lautasalus ovikamerakuvassa Massachusettsissa

Havaintopäivämäärä: 4. toukokuuta 2022
Havaintopaikka: Warren, Massachusetts, USA
Lähde: Sähköpostiraportti

Turvakameroilla on erikoiskykyjä, joista kaikki eivät ole tietoisia. Ne ovat infrapunakameroita, ja se tarkoittaa niiden kykyä nähdä taajuuksia, joita ihmissilmä ei näe. Infrapunakamerat voivat kuvata asioita, jotka on verhottu tai piilossa ihmissilmältä. Tässä tapauksessa suuri lentävä lautanen leijailee pihalla ja sitten yhtäkkiä kiitää pois uskomattomalla nopeudella. Se vain huutaa UFOa! Tätä ei voi kiistää. Avaruusolennot ovat olemassa, ja ne tulevat ovillemme!

Scott C. Waring,  Taiwan

Sähköpostissa lukee:

Kello 03:46 yöllä turvakamera kuvasi kohteen, joka ilmestyi yhtäkkiä ystäväni kämpän etuovelle Warrenissa, Massachusettsissa. Se leijaili, hyppi, sykki ja emittoi valonsädettä, ja sitten silmänräpäyksessä kiisi pois ja jätti valovanan jälkeensä. Tämä kaikki on turvakameran kuvaa. Kodin turvakamerat kuvaavat yöllä infrapunaa, joten valon oikea väri ei ole tiedossa. Koko on tuntematon, mutta olisiko ehkä rantapallon kokoinen? Mitään ääntä ei kuulunut, on mahdollista kuulla heinäsirkkojen sirinää puskissa, niin hiljaista oli. Videon lopulla voit nähdä sen kiitävän pois nopeasti. Kaverini lähetti videon minulle.

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Hehkuvia juttuja Coloradossa

Havaintopäivämäärä: 5. toukokuuta 2022
Havaintopaikka: Lakewood, Colorado, USA
Lähde: Sähköpostiraportti

Henkilö seisoi pihallaan päivällisen jälkeen ja huomasi kirkkaan valon taivaalla. Valo pyöri ympäriinsä ja vaikutti muuttavan muotoaan. Kohde tiesi, että sitä tarkkaillaan ja se tarkkaili havainnoijien reaktioita maassa. Huikea ja harvinainen UFO-kohtaaminen Coloradossa.

Scott C. Waring,  Taiwan

Silminnäkijä kertoo:

Vaimo ja minä olimme syöneet päivällistä takapihallamme kun näimme valon useita kilometrejä meidän yläpuolellamme. Se alkoi liikkua suuntaamme, etelään, ja sitten pysähtyi ja muutti suuntaansa länteen. Se ei liikkunut aluksi kauhean nopeasti, ehkäpä 300-500 mailin tuntinopeudella (perustuen alueella lentäviin lentokoneisiin ja lentoradan seuranta-applikaatioon). Sen lentorata sitten muuttui useita kertoja. Se pysähtyi hetkeksi, sitten meni eri suuntaan pienellä läntillä taivasta meistä länteen. Otin kaksi parin minuutin videota näistä. Sitten se meni pois näkyvistä. Arvioisin pilvipeitteen olleen noin 5 kilometrin korkeudella.

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

UFO kuningattaren juhlallisuuksien aikaan

Havaintopäivämäärä: 2. kesäkuuta 2022
Havaintopaikka: Lontoo, Englanti

Katsokaas tätä. Kuningattaren platinajuhlien aikaan sotilaslentokoneet ruiskuttivat taivaalle lipun värejä. Juuri kun he ylittivät kuningattaren päältä, valkoinen palloalus liikkuu uskomattoman nopeasti savuvanan yli. Tottakai siitä sanotaan että se oli drone, ja se voikin olla koska droneja käytetään kaiken aikaa, mutta katsokaa kuvakaappausta. Kohde on valkoinen niinkuin monet UFOt joita näkyy ympäri maailman.

Tämä on historiallinen hetki Englannissa, joten mahdollisuudet sille että avaruusolentoja ei näkyisi sillä ovat pienet. Kaikki silmäparit katselevat Maapalloa, ei siis anneta muiden pettyä.

Scott C. Waring, Taiwan

 

Artikkelin julkaissut UFO Sightings Daily

Kuinka saada selkoa kaaoksesta

Vuonna 1885 Ruotsin kuningas Oscar II ilmoitti julkisesta haasteesta, joka koostui neljästä matemaattisesta ongelmasta. Ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré keskittyi yhteen niistä, joka liittyi taivaankappaleiden liikkeisiin, niinkutsuttuun n-kappaleen ongelmaan. Jatkaako aurinkokuntamme kellonkaltaista liikettään ikuisesti, vai lentävätkö planeetat pois kauas tyhjyyteen, vai törmäävätkö ne Aurinkoon ja tuhoutuvat?

Poincarén ratkaisu — jossa ainakin jotkut systeemit, kuten Aurinko, Maa ja Kuu, olivat vakaita — voitti nimekkään palkinnon, ja ratkaisuartikkeli painettiin julkaistavaksi vuonna 1889. Valitettavasti hänen ratkaisunsa oli väärä.

Poincaré myönsi virheensä ja maksoi siitä, että hänen ratkaisun painokappaleet tuhottaisiin (mikä maksoi enemmän kuin voitettu rahapalkkio). Kuukautta myöhemmin hän jätti korjatun version. Nyt hän näki, että jokainen systeemi, jossa on ainoastaan kolme kappaletta, käyttäytyi liian ennustamattomasti — liian kaoottisesti — jotta sitä voitaisiin mallintaa. Ja tästä sai alkunsa dynaamisten systeemien ala.

Meidän tarkoituksiimme dynaaminen järjestelmä on yksinkertaisesti funktio, jonka mahdolliset ulostulot voivat myös toimia syötteinä. Tämä mahdollistaa meidän takaisinkytkeä ulostulot syötteiksi useaan kertaan, ja näin systeemin käyttäytyminen kehittyy. Kuten Poincarén ratkaisu näyttää, tämä yksinkertainen oletus voi tuottaa esimerkkejä, jotka ovat niin monimutkaisia ja satunnaisia, että niitä kutsutaan kaoottisiksi.

Elegantti tapa ymmärtää Poincarén johtopäätös, ja samalla tuoda hieman järjestystä kaaokseen, saatiin 70 vuotta myöhemmin. Pian sen jälkeen, kun nuori ja välkky topologi (ja tuleva Fieldsin mitalin saaja) Stephen Smale kirjoitti ensimmäisen artikkelinsa dynaamisista järjestelmistä, hän sai kirjeen, joka johti hänet keksimään suhteellisen yksinkertaisen ja ubiikin funktion, joka selitti Poincarén havaitseman kaaoksen kolmen kappaleen ongelmassa. Smale kutsui tätä hevosenkengäksi.

Tämän ymmärtämiseksi aloittakaamme suhteellisen yksinkertaisella dynaamisella systeemillä, joka ei ole kaoottinen. Oletetaan, että haluat laskea 2:n neliöjuuren yksinkertaisella nelilaskimella. Newtonin menetelmä sanoo, että voit aloittaa millä tahansa arvauksella tuloksesta — sanokaamme vaikka 3 — ja laittaa sen funktioon f (x) = x/2 + 1/x. Tulos, f (3) = 1.8333333, on lähempänä oikeaa arvoa kuin syöte. Päästäksemme vieläkin lähemmäksi, laitamme tuloksen takaisin funktioon: f (1.8333333) = 1.4621212. Näin kun tekee vielä kolme kertaa saadaan 1.4142136, todennäköisesti tämä on laskimesi tarkkuuden raja.

Kuudennen approksimaation merkitseminen f(f(f(f(f(3)))) on vaivalloista, joten sen sijaan me kirjoitamme f 5 (3), ja me kutsumme ääretöntä funktion tulosten sarjaa x:n “ympäristöksi”. Se auttaa, kun ajattelee jokaista iteraatiota kellon pyörähdyksenä, ja pitää ympäristöä lukujonolla hyppimisenä kunnes me pääsemme lukuun 2.

Sekä 3:n että 1/2:n ympäristöt molemmat lähestyvät kiintopistettä 2. kuva: Samuel Velasco/Quanta Magazine

Tässä esimerkissä me nimitämme lukua 2 puoleensavetäväksi kiintopisteeeksi: se on kiintopiste, koska se tuottaa kiinteän ympäristön 2, 2, 2…, ja puoleensavetäväksi, koska mustan aukon tavoin se imee itseensä kaikkien lähiympäristöjen pisteet.

Mutta kaikki dynaamiset systeemit eivät käyttäydy tällä tavoin ennustettavasti ja yksinkertaisesti. Dynaamisella järjestelmällä voi olla ympäristöjä, jotka kiertävät syklisesti rajallisen pistejoukon läpi, sinkoavat äärettömyyteen tai eivät käyttäydy mitenkään järjestelmällisesti.

Näiden konseptien ymmärtämiseksi, joka siis on keskeistä kaoottisille järjestelmille, tarkastelkaamme erityisen valaisevaa esimerkkiä nimeltä telttakuvaus, T, joka on määritelty x:n arvoille välillä 0…1. Vähän samalla tavoin, kuin toffeeta valmistettaessa se venyy tuplapitkäksi, sitten se taitetaan puolivälistä kahtia ja asetetaan takaisin alkuperäiseen pituuteen. Tämä tarkoittaa, että 0 ja 1 molemmat kuvautuvat nollaan ja 12 kuvautuu ykköseen. Koska telttakuvauksen tuottamat arvot ovat myös nollan ja ykkösen välillä, se voi olla dynaaminen järjestelmä. Funktion iterointi Newtonin menetelmällä tarkoittaa tämän venyttämisen ja taittamisen prosessin toistoa.

Telttakuvaus, jonka yhtälö on T(x)= 2x1/2 + 1, venyttää ja taittaa välin [0, 1]. Funktion iterointi tarkoittaa toistuvia venytyksiä ja taitoksia.

Niinkuin esimerkissämme 2, telttakuvauksella on kiintopisteet 0 ja 23. Mutta sillä on myös ympäristö, joka vaihtelee kahden pisteen välillä, 25 ja 45 — me kutsumme tätä kakkosperiodin ympäristöksi — ja kolmosperiodin ympäristö pyörii arvojen 29, 49 ja 89 läpi. Yllättävää kyllä, koska telttakuvauksella on piste, joka tuottaa kolmannen periodin ympäristön, me voimme osoittaa, että sillä on piste jokaisella periodilla — huolimatta siitä minkä positiivisen kokonaisluvun valitsee, aina tulee olemaan toistuva ympäristö ja yhtä monta pysähdystä polulla.

Tämän reaalilukualueen funktioiden ominaisuuden löysi ensimmäisenä ukrainalainen matemaatikko Alexander Sharkovsky. Kuitenkin hänen vuoden 1964 tutkielmansa tästä aiheesta on pysynyt Itä-Euroopan ulkopuolisille tuntemattomana, ja ainoa tulos joka on tiedossa on Marylandin yliopiston matemaatikoilta Tien-Yien Li ja James Yorke, jotka toisistaan riippumatta löysivät sen vuonna 1975. He osoittivat, että sellaisella dynaamisella järjestelmällä on myös ympäristöjä, jotka eivät käyttäydy mitenkään järjestelmällisesti, niinkuin pisteen 2 – 1 kymmenennen kuvauksen ympäristö. He kirjoittivat, että “kolmas periodi tarkoittaa kaaosta”, ja näin ottivat käyttöön matemaattisen termin “kaaos” siinä samassa.

Ympäristö √2 – 1 kymmenennelle kuvaukselle ei näytä mitään selkeää kuviota.

Vaikka pisteet 2 – 1 ja 2 – 0.999 ovat lähellä toisiaan, niiden ympäristöt erkanevat nopeasti: esimerkiksi T9(2 – 1) = 0.07734 kun taas T9(2 – 0.999) = 0.58934. Tämä ilmiö tunnetaan nimellä “alkuarvoista riippuva herkkyys” tai virallisemmin nimellä perhosvaikutus. Pienillä alkuarvojen muutoksilla voidaan saada suuria loppumuutoksia aikaan. Matemaatikko ja meteorologi Edward Lorenz esitti asian, “Aiheuttaako perhosen siivenisku Brasiliassa tornadon Teksasissa?” Vaikka kaaokselle ei ole mitään vakiintunutta määritelmää, tämä herkkyystarkastelu on yksi sen tunnusmerkki.

Ymmärtääksemme kaoottisia järjestelmiä — ja Smalen hevosenkenkää — käyttäkäämme aluksi karkealta näyttävää tekniikkaa. Jaetaan mahdollisten arvojen väli puolikkaisiin nimeltä L ja R. Sitten, kun ympäristö etenee, yksinkertaisesti havaitaan kummalle puolikkaalle seuraava iteraatio osuu. Tämä sarja on ympäristön “kulkureitti”. Esimerkiksi, kolmannen periodin luvun 29 ympäristön kulkureitti on LLRLLRLLR… koska 29 ja 49 ovat L:llä ja 89 on R:llä. Ympäristön 2 – 1 kulkureitti alkaa LRLRRRRRLL.

Telttakuvauksessa piste 29 tuottaa kolmosperiodin ympäristön kulkureitillä LLRLLRLLR…, ja piste 2 – 1 tuottaa kulkureitin, joka alkaa LRLRRRRRLL…

Ympäristöjen esittäminen kulkureiteillään näyttää siltä kuin informaatiota häviäisi paljonkin, mutta niin ei tapahdu. Se johtuu siitä, että jokainen L:n ja R:n sarja vastaa yhtä ja vain yhtä pistettä. 29:n ympäristö on esimerkiksi ainoa, jonka kulkureitti on LLRLLRLLR…. Tämä ominaisuus tarjoaa kätevän työkalun analysoida telttakuvauksen dynamiikkaa. Se paljastaa, että pisteet ovat periodisia juuri silloin, kun kulkureitit ovat sitä. Se myös mahdollistaa meidän määrittää pisteen sijainnin mistä tahansa kulkureitistä.

Laajennetaan nyt telttakuvauksen ideaa useampaan ulottuvuuteen, ja viimein pääsemme Smalen hevosenkenkäfunktioon h. Aloitetaan neliöllä, venytetään se nelikulmioksi, taitetaan se hevosenkengäksi ja asetetaan se alkuperäisen neliön päälle.

Smalen hevosenkenkäkuvaus venyttää ja taittaa neliön itsensä päälle.

Niinkuin kaikkien dynaamisten järjestelmien kanssa, me iteroimme tätä prosessia — venytä, taita, venytä, taita, venytä, taita — ja se tuottaa hevosenkenkiä hevosenkenkien sisään.

Smalen kuvauksen iterointi tuottaa sisäkkäisiä hevosenkenkiä.

Hevosenkenkäkuvaus on kääntyvä — sen lisäksi, että tietää minne piste x on menossa, jota h(x) kuvaa, me tiedämme mistä se oli tulossa, jota kuvaa h-1 (x). Soveltamalla h-1:a alkuperäiseen neliöön syntyy uusi hevosenkenkä, joka on suorassa kulmassa ensimmäiseen nähden. Jos jatkat soveltamista, saat lisää hevosenkenkiä uuden sisään.

Kun nämä kuvaukset laitetaan päällekkäin:

Hevosenkenkäkuvaus on kääntyvä, mikä tuottaa kaksi toisiinsa nähden suorassa kulmassa olevaa hevosenkenkää.

On olemassa pistejoukko, jota kutsumme nimellä H, joka koostuu kaikkien vaaka- ja pystysuuntaisten hevosenkenkien leikkauksista. Tässä kohtaa tapahtuu mielenkiintoisia asioita.

Erittäin epäyhtenäisen joukon H pisteet, jotka pysyvät neliöiden sisällä jatkuvasti, ovat sisäkkäisten hevosenkenkien h ja h-1 leikkauspisteissä.

Aivan kuten telttakuvauskin, hevosenkenkäkuvausta voidaan analysoida kulkureittien avulla. Määritellään L pystysuoran hevosenkengän vasemmaksi puoleksi ja R oikeaksi puoleksi.

Me merkitsemme hevosenkengän vasenta ja oikeaa puolta L:llä ja R:llä, ja käytämme näitä nimiä H:n ympäristöjen kulkureittien esittämiseen.

Jos me otamme minkä tahansa pisteen H:sta, me voimme laskea kulkureitin sen eteenpäin vievästä ympäristöstä. Ja koska hevosenkenkä on kääntyvä, me voimme määrittää kulkureitin taaksepäin vievästä ympäristöstä myös.

Esimerkiksi, sanokaamme, että voimme aloittaa pisteestä L-alueella ja kun me menemme eteenpäin ympäristössä, saamme LRRLRR…, mikä jatkuu äärettömyyteen. Kun me menemme taaksepäin ympäristössä, me saamme LRRLRR…. Joten me voimme kirjoittaa kulkureitin …LRRLRRLRRLRR…, jossa alleviiva merkitsee lähtöpistettä. Tämä on kolmosperiodin ympäristö.

Tehdään tämä nyt kaikille pisteille H:ssa.

Hevosenkengällä on jokaisen periodin periodiset pisteet, ja periodisuus näkyy kulkureiteissä.

Kulkureittien avulla saamme täyden kuvauksen hevosenkenkäfunktiosta — me ymmärrämme sen täysin — vaikka (niinkuin telttakuvauksen kanssa) sillä on kaoottinen dynamiikka: periodisia pisteitä, alkuarvoista riippuvia herkkyyksiä jne.

Nyt voimme nähdä miten Smalen hevosenkenkä voi kuvata selvemmin kaaosta Poincarén kolmen kappaleen ongelmaan. Hänen kaoottisessa hevosenkengässä tulee olla kiintopiste (kutsutaan sitä nimellä p) jonka kulkureitti on …LLLLLLL…, koska kaikkien mahdollisten kulkureittien pisteet ovat olemassa. Tämän pisteen eteenpäin vievä ympäristö lähestyy p:tä (me sanomme “tulevaisuuteen”), kuten myös sen taaksepäin vievä ympäristö (“menneisyyteen”).

 

Smalen hevosenkenkä, piste q, kulkureitti …LLLRLLL…, lähestyy kiintopistettä p, jonka kulkureitti on …LLLLLLL…, sekä tulevaisuudessa että menneisyydessä.

Kuitenkin Poincaré oli havainnut, että joidenkin funktioiden kiintopisteillä on sekä puoleensavetävä että hylkivä suunta. Tämä tarkoittaa, että on olemassa pistekäyrä, joka liikkuu kohti kiintopistettä, kuin laskimo joka palauttaa verta sydämeen, ja pistekäyrä, joka on liikkumassa poispäin, kuin valtimo, joka vie verta pois sydämestä. Jos nämä käyrät leikkaavat, niiden leikkauspisteillä, joita kutsutaan homokliinisiksi pisteiksi, on mielenkiintoinen ominaisuus, että ne lähestyvät kiintopistettä sekä tulevaisuudessa että menneisyydessä.

Piste q on homokliininen piste, koska se lähestyy kiintopistettä p sekä eteenpäin että taaksepäin mentäessä. Kun tämä tapahtuu, käyrät tuottavat homokliinisen vyyhdin ja ne käyttäytyvät kaoottisesti — niinkuin hevosenkengässä.

Smale huomautti, että q on homokliininen piste, koska sen ympäristö lähestyy p:tä sekä tulevaisuudessa että menneisyydessä. Smale myös osoitti päinvastaisen: jos on homokliininen piste (kuten Poincarélla oli), silloin on myös hevosenkenkä. Ja koska me tiedämme, että hevosenkengät ovat kaoottisia, Poincarén systeemin on oltava samalla tavalla kaoottinen. Toisin sanoen, Poincarén monimutkainen järjestelmä — ja mikä tahansa järjestelmä, jolla on homokliininen piste — käyttäytyy kuten Smalen yksinkertaisempi systeemi. Jos ymmärtää hevosenkengän, ymmärtää itse kaaoksen.

Smale osoitti myös, että tämä kaaos on robusti. Jos me kuvaisimme neliön hieman erilaiselle hevosenkengälle, syntyvällä kuvauksella olisi identtinen kaoottinen käyttäytyminen. Huolimatta systeemin paikallisesta epävakaudesta, globaali käyttäytyminen on äärimmäisen vakaata. Eli, tämä kaaos ei ole häipyvää, edes pienillä häiriöillä. Kaaos itsessään osoittautuu olevan vakaa.

Kaaosteoria jatkoi suosion kasvattamista. Se esitettiin “tieteellisen mallintamisen uutena paradigmana” vuoden 1986 Scientific Americanin artikkelissa, James Gleickin vuoden 1987 julkaistun menestyskirjan Chaos provokatiivisella alaotsikolla: “Making a New Science.” Kaaos pääsi mukaan pop-kulttuuriin mm. vuoden 1990 uudessa Jurassic Park –elokuvassa sekä Tom Stoppardin vuoden 1993 näytelmässä Arcadia.

Vaikka jotkut matemaatikot toppuuttelivat hypeä — dynaamiset systeemit eivät olleet mitään uutta — kaoottisten järjestelmien vaikutus matematiikkaan ja tieteeseen oli perinpohjainen. Kaaoksen olemassaolo näytti, että jopa deterministissä järjestelmissä me saatamme olla kyvyttömiä tarkkaan ennustamaan tulevaa, johtuen alkuarvoista riippuvasta herkkyydestä. Mutta Smalen hevosenkengän kaltaisten työkalujen ansiosta me voimme edelleen saada hyödyllistä tietoa näistä järjestelmistä.

 

Artikkelin julkaissut Quanta Magazine