Huikeassa juuri julkaistussa todistuksessa, kolme matemaatikkoa on ratkaissut 30-vuotisen ongelman, joka tunnetaan nimellä André-Oortin konjektuuri, ja edistäneet satojen vuosien taivalta ymmärtää ratkaisuja polynomiyhtälöihin. Työ lainaa ideoita lähes kaikilta matematiikan eri osa-alueilta.
“Menetelmät, joita siinä käytetään, sanoisin, kattavat koko matematiikan”, sanoi Andrei Yafaev University College Londonista.
Uusi tutkielma alkaa erään kaikkein perustavanlaatuisimman matematiikan kysymyksen parissa: milloin polynomiyhtälöillä kuten x3 + y3 = z3 on kokonaislukuratkaisuja (positiivisia tai negatiivisia)? Vuonna 1994 Andrew Wiles ratkaisi erään version tästä kysymyksestä, joka tunnetaan Fermat’n Viimeisenä Teoreemana, eräänä 1900-luvun suurista matemaattisista voitoista.
Fermat’n Viimeisen Teoreeman ja sensellaisten ongelmien ratkaisemiseksi matemaatikot ovat kehittäneet yhä abstraktimpia teorioita, jotka tuovat mukanaan uusia kysymyksiä ja konjektuureja. Yves André ja Frans Oort esittivät kaksi tällaista pulmaa vuorollaan vuosina 1989 ja 1995, mikä johti siihen minkä me nyt tunnemme André-Oort konjektuurina. Sen sijaan että pohdittaisiin kokonaislukuratkaisuja polynomiyhtälöihin, André-Oortin konjektuuri liittyy ratkaisuihin, jotka ovat paljon monimutkaisempia geometrisia olioita nimeltään Shimuran olomuodot (engl. variety, suomennos on toimituksen ad hoc kehittämä).
Monet matemaatikot ovat työskennelleet ongelman parissa viimeiset vuosikymmenet. Vuonna 2014 Yafaev ja Bruno Klingler todistivat sen, mutta hommassa oli juju. Heidän tuloksensa riippui siitä, että Riemannin hypoteesi pätee — mutta se on eräs kuuluisa vaikea kysymys, jota ei ole edelleenkään ratkaistu.
Uusi Oxfordin yliopiston Jonathan Pilan, Wisconsinin yliopiston Ananth Shankarin ja Toronton yliopiston Jacob Tsimermanin tutkielma ratkaisee tämän. Lisäksi se näyttää Tsimermanin osaamisen, 33, jota pidetään laajalti eräänä aikansa huippumatemaatikoista.
“Jacob Tsimermanilla on kyky ymmärtää kaikkea”, Yafaev sanoo.
Erilaiset olomuodot
André-Oortin konjektuuri liittyy algebran olomuotoihin, jotka perustasollaan ovat pelkkä joukko (tai graafi) kaikista ratkaisuista yhteen polynomiyhtälöön, tai näiden kokoelma.
Yksikköympyrä on olomuoto: sen kaaren pisteiden koordinaatit ovat ratkaisuja polynomiin x2 + y2 = 1. Suora y = 0 on myös olomuoto. Ja näiden kahden leikkaus — pisteet (1, 0) ja (−1, 0) — on kolmas olomuoto, joka on kahden ensimmäisen sisällä.
André-Oortin konjektuurin olomuodot ovat tärkeää tyyppiä, nimeltään Shimuran olomuodot (engl. Shimura variety). Vaikka Shimuran olomuotoja on muutamaa erilaista tyyppiä, yksinkertaisin liittyy kriittiseen matemaattiseen olioon nimeltään elliptinen käyrä (yhtälöt kuten y2 = x3 + 1 tai y2 = x3 + 3x + 2).
Pisteet näillä Shimuran olomuodoilla koodaavat reseptin, jolla voidaan konstruoida elliptinen käyrä. Mutta on myös muita, monimutkaisempia Shimuran olomuotoja, joiden rakenne on vähemmän suoraviivainen. Niihin liittyvän informaation kuvaaminen on ollut vaikeaa.
“Yleisen tyypin Shimuran olomuotojen rakenteesta tiedetään vain vähän”, sanoo Ruochuan Liu Pekingin yliopistosta.
André-Oortin konjektuuri on juuri tuohon liittyvä kysymys: Mikä on Shimuran olomuotojen perusrakenne, joiden alle itsessään liittyy paljon modernia matematiikkaa?
Erikoispisteet
Pidetään mielessä, että olomuodot voivat elää toisten olomuotojen sisällä, samalla tavalla kuin ei-tangentiaalinen viivan ja ympyrän leikkaus luo kahden pisteen aliolomuodon. André-Oortin konjektuuri esittää kysymyksen Shimuran olomuotojen sisällä elävistä olomuodoista. Se tekee tämän keskittymällä Shimuran olomuotojen tiettyihin elementteihin.
Shimuran olomuodolla jokainen piste esittää toista olomuotoa, kuten elliptinen käyrä. Jotkut näistä käyristä ovat enemmän symmetrisiä kuin toiset, ja symmetrisempiä esitetään Shimuran olomuodolla, jota matemaatikot kutsuvat “erikoispisteiksi”.
André-Oortin konjektuuri liittyy siihen miten nämä erikoispisteet jakautuvat. Kuvittele lähteväsi liikkeelle Shimuran olomuodolla. Ajattele sitä kolmiulotteiseksi muodoksi. Seuraavaksi, piirrä käyrä sen pinnalle. Tämä käyrä on olomuoto, vaikkakaan ei välttämättä Shimuran olomuoto. Mutta André-Oortin konjektuurin mukaan, jos tuo käyrä jatkuvasti törmää erikoispisteisiin, sen on itsessään oltava Shimuran olomuoto.
“Se on eräänlainen erittäin selkeä geometrinen tulkinta”, Tsimerman sanoo.
Toisin sanoin, André-Oortin konjektuuri tekee ennusteita siitä onko pinnalla oleva käyrä Shimuran olomuoto. Silloin on olemassa yläraja erikoispisteille, joihin se voi törmätä. Matemaatikot ovat yrittäneet vuosien ajan vahvistaa Andrén ja Oortin esittämää ylärajaa. 2000-luvun ensimmäisen vuosikymmenen lopulla Jonathan Pila teki suuria harppauksia esittämällä uuden menetelmän erikoispisteiden laskemiseksi.
Pilan edistys
André-Oortin konjektuurin todistamiseksi Pila tarvitsi karkean arvion erikoispisteistä olomuodolla. Hän teki tämän antamalla pisteille ominaisuuden nimeltään “korkeus”. Korkeus mittaa miten monimutkainen tietty piste, tai arvo, on. Tarkastellaan lukuja 10 ja 10.000017. Yhtäältä ne ovat samanlaisia, mutta toisaalta ne ovat varsin erilaisia.
“Ne ovat molemmat rationaalilukuja, ja ne ovat varsin lähellä toisiaan. Mutta yksi niistä on paljon toista monimutkaisempi”, Shankar sanoo.
Yksi tapa kuvata tätä kompleksisuutta on muuttaa nämä luvut yksinkertaisiksi murtoluvuiksi. Luvun korkeus on osoittajan tai nimittäjän itseisarvo — kumpi niistä sitten onkaan suurempi. Murtolukuna numero 10 on sama kuin 10 / 1, joten luvun 10 korkeus on 10. Yksinkertaisin tapa kirjoittaa 10.000017 murtolukuna on 10,000,017 / 1,000,000. Tämän perusteella sen korkeus on 10 miljoonaa. On myös muita tapoja mitata korkeutta (tämä osoittautui suurimmaksi haasteeksi todistuksen esittäjillä).
André-Oortin konjektuurin todistamiseksi Pilan tarvitsi osoittaa, että Shimuran olomuodon sisällä elävällä ei-Shimuran olomuodolla ei ole montaa erikoispistettä. Korkeus on työkalu, joka on tässä avuksi.
Tarkastellaan rationaalilukuja, joiden korkeus on enintään 2. Vaikka on äärettömän monta rationaalilukua, jonka itseisarvo on 2 tai vähemmän, ainoastaan seitsemän niistä on tarpeeksi yksinkertainen jotta sen korkeus on 2 tai vähemmän: 0, 1, 12, 2, tai näiden negatiivit. Yleisesti ottaen, jos voit osoittaa, että rationaalilukujen joukolla on rajallinen määrä korkeuksia, olet osoittanut että joukolla on rajallinen määrä alkioita.
Tällä tavoin korkeus on varsin erilainen itseisarvoon verrattuna. Pila käytti hyödyksi tätä eroa identifioimalla jokaisen erikoispisteen Shimuran olomuodolla, joka on eri reaaliluku. Sitten hän osoitti, että nämä reaaliluvut eivät olleet liian monimutkaisia — niiden korkeudet eivät voineet olla liian suuria. Se tarkoitti, että tiettyyn erikoispisteeseen liittyi äärellisen monta reaalilukua. Koska jokainen erikoispiste vastasi tiettyä reaalilukua, silloin erikoispisteitäkin voisi olla vain rajallinen määrä.
Pilan menetelmä välkysti vältti laskemasta itse Shimuran olomuodon korkeuksia. Sen sijaan hän tutki reaalilukujen korkeuksia ja yhdisti reaaliluvut Shimuran olomuotoon. Mutta tämä strategia toimii vain yksinkertaisille Shimuran olomuodoille.
André-Oortin konjektuurin todistamiseksi kaikille Shimuran olomuodoille, hän ja muut joutuisivat keksimään tavan mitata korkeuksia suoraan.
Universaalit korkeudet
Kun Pila sai aikaan uusia innostavia edistysaskelia André-Oortin konjektuurin parissa, Tsimerman oli edelleen jatko-opiskelijana Princetonin yliopistossa. Hän oli alkanut työstää hänen ohjaajan Peter Sarnakin neuvosta tätä ongelmaa. Pila oli myös ollut Sarnakin oppilas, ja kun hän palasi Princetoniin vuonna 2009 kertomaan uusista löydöksistään, hän ja Tsimerman löysivät toisensa.
“Hän ja minä olemme olleet tämän ongelman parissa siitä lähtien”, Tsimerman sanoo.
Suurin heidän kohtaamansa ohnelma oli monien eri korkeuden mittaamisen tapojen yhteensovittaminen. Esimerkiksi, joskus matemaatikot määrittelevät numeron suuruuden katsomalla sen alkulukutekijöitä itseisarvon sijaan. André-Oortin konjektuurin todistamiseksi heidän piti ensin kääntää jokainen näistä kompleksisuuden määritelmistä Shimuran olomuodolle.
Pila ja Tsimerman saivat aikaan osittaista edistymistä tähän suuntaan. Mutta pidemmälle meneminen vaati aina vain monimutkaisempia matemaattisia ideoita, joita he tunsivat yhä vain huonommin. Erityisesti, heidän piti löytää tapa jolla yhdistää kaikki nämä eri korkeuksien mittaamisen tavat yhdeksi johdonmukaiseksi luvuksi (joka varmistaisi, että he olivat ottaneet huomioon kaikki tavat joilla pisteet saattaisivat erota toisistaan).
Tsimerman tiesi, että Shankarilla oli kokemusta sellaisesta matematiikasta, jota he kaipasivat tämän saavuttamiseksi, ja hän pyysi tätä liittymään mukaan yhteisprojektiin elokuussa 2020. Kolme matemaatikkoa työskentelivät ongelman parissa useita kuukausia, mutta edistys hidastui.
“Joskus vaikutti siltä että me olimme lähellä; joskus vaikutti taas siltä että meillä oli perustavanlaatuisia esteitä, joiden yli piti päästä”, Shankar sanoi. He päättivät ottaa askeleen taaksepäin viime talvena, ajatellen että he voisivat edistää muita juttuja.
Pari kuukautta myöhemmin Shankar esitteli Pilalle ja Tsimermanille Toronton yliopiston Michael Groechenigin ja Free University of Berlinin Hélène Esnaultin työtä hänen puhuttuaan Groechenigin kanssa. Hän epäili, että heidän tuloksensa — plus Gal Binyaminin ja muiden tekemä työ — voisi auttaa heitä todistamaan, että kaikki eri korkeuden käsitteet sulautuvat yhteen tavalla, jota he tarvitsivat.
Tuo vainu osoittautui oikeaksi, kun Esnault ja Groechenig olivat täydentäneet aiempaa työtään. Pila, Shankar ja Tsimerman sitten käyttivät heidän laajennettua työtään todistamaan, että erikoispisteiden korkeudet eivät koskaan kasva liian suuriksi millekään Shimuran olomuodolle. Tämän myötä André-Oortin konjektuurin lopullinen todistus oli lähellä.
“Jossain mielessä koko tutkielman pointti oli selvä, jo joskus puolitoista vuotta sitten, mutta sen saamiseksi toimimaan vaadittiin, että kehitettiin tällaisia monimutkaisia koneen osasia, joiden yhteensovittaminen vei paljon aikaa”, Tsimerman sanoo.
Pila, Shankar ja Tsimerman lopulta syksyllä 2021 julkaisivat tuloksensa. He osoittivat, että millään Shimuran olomuodon sisällä elävällä olomuodolla ei voi olla liian montaa erikoispistettä ilman, että kyseessä on itsessään Shimuran olomuoto.
Vaikka tutkielman lukeminen ja varmistaminen huolellisesti ottaa aikansa, matemaatikot ovat jo pohtimassa sen vaikutuksia. Jos tutkielman ideoita voidaan soveltaa laajemmin, he saattaisivat esimerkiksi laajentaa tulosta 1980-luvulta ongelmaan nimeltä Mordellin konjektuuri — ja tämä saisi aikaan numeroteorian uusien löydösten vyöryn.
“Tämä on läpimurto, selvästikin läpimurto”, Liu sanoo.
Artikkelin julkaissut Quanta Magazine
