kirjoittanut Inés Urdaneta
Mikä on tämä 240 vuotta vanha pulma?
Leonhard Euler (1707 – 1783), sveitsiläinen matemaatikko ja fyysikko, tunnetaan ehkä eniten hänen kompleksilukuja kuvaavasta Eulerin yhtälöstään: eiφ + 1 = 0.
Eulerin panos matematiikkaan on kiistämätön fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikassa. Nyt Eulerin pulmalle on löytynyt ratkaisu, joka todennäköisesti vaikuttaa asioihin kvanttilaskennassa ja informaatioteoriassa.
Eulerin 36 upseerin pulma on seuraavanlainen:
Valitaan kuudesta eri rykmentistä kuusi upseeria kuudella eri sotilasarvolla. Halutaan järjestää nämä yhteensä 36 upseeria paraatiin 6x6 -neliömuodostelmaan siten, että jokaisessa rivissä ja jokaisessa jonossa on edustettuna kaikki kuusi rykmenttiä ja sotilasarvoa. Siis siten, että jokaisessa rivissä ja jokaisessa jonossa olisi yksi upseeri kutakin sotilasarvoa kustakin rykmentistä. Onko tämä mahdollista?
Euler yritti vuonna 1779 järjestää upseereita pyydetyllä tavalla, mutta ei onnistunut siinä, ja arvasi lopulta tehtävän olevan mahdoton. Itseasiassa Euler otaksui vastaavanlaisen neliön muodostamisen olevan mahdotonta kaikilla muotoa 2 + 4k (k = 1, 2, 3, …), olevilla määrillä rykmenttejä ja sotilasarvoja. Hän muotoilikin siitä nk. Eulerin konjektuurin, jota ei kuitenkaan kyennyt todistamaan [6].
Esimerkiksi hypoteettisessa neljän ulottuvuuden tilanteessa (d=4, neljä kategoriaa ja 4 alakategoriaa), jossa kategoriat ovat esineen muoto (neliö, ympyrä, kolmio ja tähti), ja alakategoriat ovat värejä (sininen, vihreä, punainen ja keltainen), ratkaisu jossa mikään väri tai muoto ei toistu missään rivissä tai sarakkeessa, ja jossa lisäksi jokainen muoto on eri värinen, on esitetty alla:
Tämä ehto ei täyty diagonaaleilla, ja kiinnostavaa kyllä kaksi päädiagonaalia 6×6 neliöstä toistavat molemmat muodon (kaikki 4 paikkaa on neliöiden täyttämiä yhdellä päädiagonaalilla ja tähtien leikkaavalla diagonaalilla). Ja koska molemmat päädiagonaalit sisältävät samoja muotoja, värit eivät toistu diagonaalilla. Sanomme, että tämä ratkaisu johtaa ”diagonalisaatioon”.
Euler havaitsi, että sellainen järjestely oli mahdoton, kun d=6. Vasta paljon myöhemmin, vuonna 1960, tietokoneiden avulla, matemaatikot osoittivat että ratkaisu on olemassa mille tahansa kahta suuremmalle määrälle sotilasarvoja ja rykmenttejä, paitsi kuudelle.
Kuietnkin kvanttifyysikoiden ryhmä Intiasta ja Puolasta on osoittanut, että ratkaisemattoman pulman vastaavalla kvanttimaailman analogilla on analyyttinen ratkaisu. Heidän tutkimuksensa nimi on ”Thirty-six entangled officers of Euler: Quantum solution to a classically impossible problem”, joka on annettu vertaisarvioitavaksi Physical Review Lettersiin, fysiikan huippujulkaisuun.
Tämä löydös vaatii algoritmien käyttämistä, joilla on kvanttiominaisuuksia, erityisesti kvanttitilojen superpositio. Tilojen superpositio esimerkiksi tarkoittaisi tässä tapauksessa tietyn sotilasarvon ja tietyn rykmentin yhdistelmää jokaiselle upseerille. Tai geometristen muotojen ja värien tapauksessa kvanttiupseeri olisi tila, joka koostuu esimerkiksi sinisestä neliöstä ja keltaisesta tähdestä, joille on molemmille annettu painokertoimet, jotka ilmaisevat suhteellisen esiintyvyyden kullekin kategorialle. Sellaisia painokertoimia kutsutaan amplitudeiksi.
Algoritmi muodostaa mahdolliset kombinaatiot ja laskee amplitudit, kunnes algoritmi on konvergoitunut, jolloin se on näyttänyt kaikki mahdolliset yhdistelmät. Tulokset olivat hämmentäviä kahdesta syystä. Ensinnäkin, koska löydetty ratkaisu käytti tiloja, jotka olivat kvanttikietoutuneet toisiinsa (eli että niitä ei voida hajottaa eri kategorioiksi), ja kvanttikietoutumisen määrä oli maksimissaan, ominaisuus joka on erittäin vaikeaa saavuttaa kvanttitiloilla. Toisin sanoen, työkalu teki mahdolliseksi löytää maksimaalisen kietoutuneita kvanttitiloja erittäin systemaattisella tavalla. Kvanttikietoutuminen on olennainen piirre kvanttilaskennassa, sillä se suojaa kvanttitiloja korruptoitumiselta. Näin maksimaalisen kvanttikietoutuneet tilat ovat paras suoja mikä kvanttitiloilla voi olla.
Toiseksi, tutkijat saivat selville, että kultainen leikkaus määrittää kaikki amplitudit, joita maksimaalisen kietoutuneessa ratkaisussa esiintyy, minkä takia tila sai nimen kultaisen maksimaalisen kietoutuneisuuden amplituditila.
”Kiinnostavaa kyllä, algoritmin tuottamien kertoimien välinen suhde oli Φ, eli 1.618…, kuuluisa kultainen leikkaus.” Daniel Garisto, Quanta Magazine
Ratkaisun/kietoutuneisuuden visualisoimiseksi Eulerin kvanttiupseereilla, me voimme tarkastella allaolevaa kuviota. Jokaisen upseerin sijainti, i:nnes rivi ja j:nnes sarake, on esitetty vastaavalla rivillä ja sarakkeella matriisissa. Upseerien sotilasarvot ja rykmentit on esitetty korttien muodossa vastaavina numeroarvoina ja maina. Jokaisen upseerin sotilasarvo on superpositiossa kahden sotilasarvon ja kahden rykmentin kanssa. Jokaisen kortin arvon kirjain vastaa siihen liittyvän elementin amplitudin suuruutta. Klassinen Eulerin pulman ratkaisu vastaisi matriisia, jossa jokaisessa matriisin alkion paikassa on vain yksi kortti.
Ratkaisun/kvanttikietoutumisen visualisointi Eulerin kvanttiupseereilla. Kuva otettu tutkielmasta.
Me havaitsemme, että matriisiin syntyy struktuureja, esimerkiksi, ässät ovat kietoutuneet kuninkaiden kanssa, koska ne esiintyvät ainoastaan kuninkaiden seurassa, kuningattaret jätkien kanssa, kympit pelkästään 9ien kanssa. Eli, ne ovat ainoastaan ja aina kietoutuneet niiden välittömään naapuriin. Lisäksi, korttien värit eivät ole kietoutuneet toisiinsa. Näin upseerit ryhmitellään yhdeksään nelielementtiseen joukkoon, joista jokaisessa on samat värit ja lukuparit.
Tämä tulos on merkittävä, sillä se tarkoittaa että ratkaisussa esiintyy maksimaalinen kietoutuminen.
Ratkaisulla on myös muita hienoja ominaisuuksia, kuten kultaisen leikkauksen esiintyminen (1,618….). Nassim Harameinin tulevassa tutkielmassa otsikolla ”Skaalainvariantti kenttien, voimien ja hiukkasten yhtenäistäminen kvanttivakuumiplasmassa” näytetään miten kultainen leikkaus syntyy myös Harameinin yleistetyssä holografisessa mallissa. Tämä työ tulee käyttöön moduulissa 8, ”Universaali skaalautuvuuden laki”, ja kun se on julkaistu, me kykenemme syventymään enemmän tämän amplitudien kultaisen leikkauksen ratkaisuun ja puhumaan lisää sen vaikutuksista.
Artikkelin julkaissut Resonance Science
