Vuonna 1885 Ruotsin kuningas Oscar II ilmoitti julkisesta haasteesta, joka koostui neljästä matemaattisesta ongelmasta. Ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré keskittyi yhteen niistä, joka liittyi taivaankappaleiden liikkeisiin, niinkutsuttuun n-kappaleen ongelmaan. Jatkaako aurinkokuntamme kellonkaltaista liikettään ikuisesti, vai lentävätkö planeetat pois kauas tyhjyyteen, vai törmäävätkö ne Aurinkoon ja tuhoutuvat?

Poincarén ratkaisu — jossa ainakin jotkut systeemit, kuten Aurinko, Maa ja Kuu, olivat vakaita — voitti nimekkään palkinnon, ja ratkaisuartikkeli painettiin julkaistavaksi vuonna 1889. Valitettavasti hänen ratkaisunsa oli väärä.

Poincaré myönsi virheensä ja maksoi siitä, että hänen ratkaisun painokappaleet tuhottaisiin (mikä maksoi enemmän kuin voitettu rahapalkkio). Kuukautta myöhemmin hän jätti korjatun version. Nyt hän näki, että jokainen systeemi, jossa on ainoastaan kolme kappaletta, käyttäytyi liian ennustamattomasti — liian kaoottisesti — jotta sitä voitaisiin mallintaa. Ja tästä sai alkunsa dynaamisten systeemien ala.

Meidän tarkoituksiimme dynaaminen järjestelmä on yksinkertaisesti funktio, jonka mahdolliset ulostulot voivat myös toimia syötteinä. Tämä mahdollistaa meidän takaisinkytkeä ulostulot syötteiksi useaan kertaan, ja näin systeemin käyttäytyminen kehittyy. Kuten Poincarén ratkaisu näyttää, tämä yksinkertainen oletus voi tuottaa esimerkkejä, jotka ovat niin monimutkaisia ja satunnaisia, että niitä kutsutaan kaoottisiksi.

Elegantti tapa ymmärtää Poincarén johtopäätös, ja samalla tuoda hieman järjestystä kaaokseen, saatiin 70 vuotta myöhemmin. Pian sen jälkeen, kun nuori ja välkky topologi (ja tuleva Fieldsin mitalin saaja) Stephen Smale kirjoitti ensimmäisen artikkelinsa dynaamisista järjestelmistä, hän sai kirjeen, joka johti hänet keksimään suhteellisen yksinkertaisen ja ubiikin funktion, joka selitti Poincarén havaitseman kaaoksen kolmen kappaleen ongelmassa. Smale kutsui tätä hevosenkengäksi.

Tämän ymmärtämiseksi aloittakaamme suhteellisen yksinkertaisella dynaamisella systeemillä, joka ei ole kaoottinen. Oletetaan, että haluat laskea 2:n neliöjuuren yksinkertaisella nelilaskimella. Newtonin menetelmä sanoo, että voit aloittaa millä tahansa arvauksella tuloksesta — sanokaamme vaikka 3 — ja laittaa sen funktioon f (x) = x/2 + 1/x. Tulos, f (3) = 1.8333333, on lähempänä oikeaa arvoa kuin syöte. Päästäksemme vieläkin lähemmäksi, laitamme tuloksen takaisin funktioon: f (1.8333333) = 1.4621212. Näin kun tekee vielä kolme kertaa saadaan 1.4142136, todennäköisesti tämä on laskimesi tarkkuuden raja.

Kuudennen approksimaation merkitseminen f(f(f(f(f(3)))) on vaivalloista, joten sen sijaan me kirjoitamme f ⁵ (3), ja me kutsumme ääretöntä funktion tulosten sarjaa x:n “ympäristöksi”. Se auttaa, kun ajattelee jokaista iteraatiota kellon pyörähdyksenä, ja pitää ympäristöä lukujonolla hyppimisenä kunnes me pääsemme lukuun √2.

Tässä esimerkissä me nimitämme lukua √2 puoleensavetäväksi kiintopisteeeksi: se on kiintopiste, koska se tuottaa kiinteän ympäristön √2, √2, √2…, ja puoleensavetäväksi, koska mustan aukon tavoin se imee itseensä kaikkien lähiympäristöjen pisteet.

Mutta kaikki dynaamiset systeemit eivät käyttäydy tällä tavoin ennustettavasti ja yksinkertaisesti. Dynaamisella järjestelmällä voi olla ympäristöjä, jotka kiertävät syklisesti rajallisen pistejoukon läpi, sinkoavat äärettömyyteen tai eivät käyttäydy mitenkään järjestelmällisesti.

Näiden konseptien ymmärtämiseksi, joka siis on keskeistä kaoottisille järjestelmille, tarkastelkaamme erityisen valaisevaa esimerkkiä nimeltä telttakuvaus, T, joka on määritelty x:n arvoille välillä 0…1. Vähän samalla tavoin, kuin toffeeta valmistettaessa se venyy tuplapitkäksi, sitten se taitetaan puolivälistä kahtia ja asetetaan takaisin alkuperäiseen pituuteen. Tämä tarkoittaa, että 0 ja 1 molemmat kuvautuvat nollaan ja 12 kuvautuu ykköseen. Koska telttakuvauksen tuottamat arvot ovat myös nollan ja ykkösen välillä, se voi olla dynaaminen järjestelmä. Funktion iterointi Newtonin menetelmällä tarkoittaa tämän venyttämisen ja taittamisen prosessin toistoa.

Niinkuin esimerkissämme √2, telttakuvauksella on kiintopisteet 0 ja 23. Mutta sillä on myös ympäristö, joka vaihtelee kahden pisteen välillä, 25 ja 45 — me kutsumme tätä kakkosperiodin ympäristöksi — ja kolmosperiodin ympäristö pyörii arvojen 29, 49 ja 89 läpi. Yllättävää kyllä, koska telttakuvauksella on piste, joka tuottaa kolmannen periodin ympäristön, me voimme osoittaa, että sillä on piste jokaisella periodilla — huolimatta siitä minkä positiivisen kokonaisluvun valitsee, aina tulee olemaan toistuva ympäristö ja yhtä monta pysähdystä polulla.

Tämän reaalilukualueen funktioiden ominaisuuden löysi ensimmäisenä ukrainalainen matemaatikko Alexander Sharkovsky. Kuitenkin hänen vuoden 1964 tutkielmansa tästä aiheesta on pysynyt Itä-Euroopan ulkopuolisille tuntemattomana, ja ainoa tulos joka on tiedossa on Marylandin yliopiston matemaatikoilta Tien-Yien Li ja James Yorke, jotka toisistaan riippumatta löysivät sen vuonna 1975. He osoittivat, että sellaisella dynaamisella järjestelmällä on myös ympäristöjä, jotka eivät käyttäydy mitenkään järjestelmällisesti, niinkuin pisteen √2 – 1 kymmenennen kuvauksen ympäristö. He kirjoittivat, että “kolmas periodi tarkoittaa kaaosta”, ja näin ottivat käyttöön matemaattisen termin “kaaos” siinä samassa.

Vaikka pisteet √2 – 1 ja √2 – 0.999 ovat lähellä toisiaan, niiden ympäristöt erkanevat nopeasti: esimerkiksi T⁹(√2 – 1) = 0.07734 kun taas T⁹(√2 – 0.999) = 0.58934. Tämä ilmiö tunnetaan nimellä “alkuarvoista riippuva herkkyys” tai virallisemmin nimellä perhosvaikutus. Pienillä alkuarvojen muutoksilla voidaan saada suuria loppumuutoksia aikaan. Matemaatikko ja meteorologi Edward Lorenz esitti asian, “Aiheuttaako perhosen siivenisku Brasiliassa tornadon Teksasissa?” Vaikka kaaokselle ei ole mitään vakiintunutta määritelmää, tämä herkkyystarkastelu on yksi sen tunnusmerkki.

Ymmärtääksemme kaoottisia järjestelmiä — ja Smalen hevosenkenkää — käyttäkäämme aluksi karkealta näyttävää tekniikkaa. Jaetaan mahdollisten arvojen väli puolikkaisiin nimeltä L ja R. Sitten, kun ympäristö etenee, yksinkertaisesti havaitaan kummalle puolikkaalle seuraava iteraatio osuu. Tämä sarja on ympäristön “kulkureitti”. Esimerkiksi, kolmannen periodin luvun 29 ympäristön kulkureitti on LLRLLRLLR… koska 29 ja 49 ovat L:llä ja 89 on R:llä. Ympäristön √2 – 1 kulkureitti alkaa LRLRRRRRLL.

Ympäristöjen esittäminen kulkureiteillään näyttää siltä kuin informaatiota häviäisi paljonkin, mutta niin ei tapahdu. Se johtuu siitä, että jokainen L:n ja R:n sarja vastaa yhtä ja vain yhtä pistettä. 29:n ympäristö on esimerkiksi ainoa, jonka kulkureitti on LLRLLRLLR…. Tämä ominaisuus tarjoaa kätevän työkalun analysoida telttakuvauksen dynamiikkaa. Se paljastaa, että pisteet ovat periodisia juuri silloin, kun kulkureitit ovat sitä. Se myös mahdollistaa meidän määrittää pisteen sijainnin mistä tahansa kulkureitistä.

Laajennetaan nyt telttakuvauksen ideaa useampaan ulottuvuuteen, ja viimein pääsemme Smalen hevosenkenkäfunktioon h. Aloitetaan neliöllä, venytetään se nelikulmioksi, taitetaan se hevosenkengäksi ja asetetaan se alkuperäisen neliön päälle.

Niinkuin kaikkien dynaamisten järjestelmien kanssa, me iteroimme tätä prosessia — venytä, taita, venytä, taita, venytä, taita — ja se tuottaa hevosenkenkiä hevosenkenkien sisään.

Hevosenkenkäkuvaus on kääntyvä — sen lisäksi, että tietää minne piste x on menossa, jota h(x) kuvaa, me tiedämme mistä se oli tulossa, jota kuvaa h^-1 (x). Soveltamalla h^-1:a alkuperäiseen neliöön syntyy uusi hevosenkenkä, joka on suorassa kulmassa ensimmäiseen nähden. Jos jatkat soveltamista, saat lisää hevosenkenkiä uuden sisään.

Kun nämä kuvaukset laitetaan päällekkäin:

On olemassa pistejoukko, jota kutsumme nimellä H, joka koostuu kaikkien vaaka- ja pystysuuntaisten hevosenkenkien leikkauksista. Tässä kohtaa tapahtuu mielenkiintoisia asioita.

Aivan kuten telttakuvauskin, hevosenkenkäkuvausta voidaan analysoida kulkureittien avulla. Määritellään L pystysuoran hevosenkengän vasemmaksi puoleksi ja R oikeaksi puoleksi.

Jos me otamme minkä tahansa pisteen H:sta, me voimme laskea kulkureitin sen eteenpäin vievästä ympäristöstä. Ja koska hevosenkenkä on kääntyvä, me voimme määrittää kulkureitin taaksepäin vievästä ympäristöstä myös.

Esimerkiksi, sanokaamme, että voimme aloittaa pisteestä L-alueella ja kun me menemme eteenpäin ympäristössä, saamme LRRLRR…, mikä jatkuu äärettömyyteen. Kun me menemme taaksepäin ympäristössä, me saamme LRRLRR…. Joten me voimme kirjoittaa kulkureitin …LRRLRRLRRLRR…, jossa alleviiva merkitsee lähtöpistettä. Tämä on kolmosperiodin ympäristö.

Tehdään tämä nyt kaikille pisteille H:ssa.

Kulkureittien avulla saamme täyden kuvauksen hevosenkenkäfunktiosta — me ymmärrämme sen täysin — vaikka (niinkuin telttakuvauksen kanssa) sillä on kaoottinen dynamiikka: periodisia pisteitä, alkuarvoista riippuvia herkkyyksiä jne.

Nyt voimme nähdä miten Smalen hevosenkenkä voi kuvata selvemmin kaaosta Poincarén kolmen kappaleen ongelmaan. Hänen kaoottisessa hevosenkengässä tulee olla kiintopiste (kutsutaan sitä nimellä p) jonka kulkureitti on …LLLLLLL…, koska kaikkien mahdollisten kulkureittien pisteet ovat olemassa. Tämän pisteen eteenpäin vievä ympäristö lähestyy p:tä (me sanomme “tulevaisuuteen”), kuten myös sen taaksepäin vievä ympäristö (“menneisyyteen”).

Kuitenkin Poincaré oli havainnut, että joidenkin funktioiden kiintopisteillä on sekä puoleensavetävä että hylkivä suunta. Tämä tarkoittaa, että on olemassa pistekäyrä, joka liikkuu kohti kiintopistettä, kuin laskimo joka palauttaa verta sydämeen, ja pistekäyrä, joka on liikkumassa poispäin, kuin valtimo, joka vie verta pois sydämestä. Jos nämä käyrät leikkaavat, niiden leikkauspisteillä, joita kutsutaan homokliinisiksi pisteiksi, on mielenkiintoinen ominaisuus, että ne lähestyvät kiintopistettä sekä tulevaisuudessa että menneisyydessä.

Smale huomautti, että q on homokliininen piste, koska sen ympäristö lähestyy p:tä sekä tulevaisuudessa että menneisyydessä. Smale myös osoitti päinvastaisen: jos on homokliininen piste (kuten Poincarélla oli), silloin on myös hevosenkenkä. Ja koska me tiedämme, että hevosenkengät ovat kaoottisia, Poincarén systeemin on oltava samalla tavalla kaoottinen. Toisin sanoen, Poincarén monimutkainen järjestelmä — ja mikä tahansa järjestelmä, jolla on homokliininen piste — käyttäytyy kuten Smalen yksinkertaisempi systeemi. Jos ymmärtää hevosenkengän, ymmärtää itse kaaoksen.

Smale osoitti myös, että tämä kaaos on robusti. Jos me kuvaisimme neliön hieman erilaiselle hevosenkengälle, syntyvällä kuvauksella olisi identtinen kaoottinen käyttäytyminen. Huolimatta systeemin paikallisesta epävakaudesta, globaali käyttäytyminen on äärimmäisen vakaata. Eli, tämä kaaos ei ole häipyvää, edes pienillä häiriöillä. Kaaos itsessään osoittautuu olevan vakaa.

Kaaosteoria jatkoi suosion kasvattamista. Se esitettiin “tieteellisen mallintamisen uutena paradigmana” vuoden 1986 Scientific Americanin artikkelissa, James Gleickin vuoden 1987 julkaistun menestyskirjan Chaos provokatiivisella alaotsikolla: “Making a New Science.” Kaaos pääsi mukaan pop-kulttuuriin mm. vuoden 1990 uudessa Jurassic Park –elokuvassa sekä Tom Stoppardin vuoden 1993 näytelmässä Arcadia.

Vaikka jotkut matemaatikot toppuuttelivat hypeä — dynaamiset systeemit eivät olleet mitään uutta — kaoottisten järjestelmien vaikutus matematiikkaan ja tieteeseen oli perinpohjainen. Kaaoksen olemassaolo näytti, että jopa deterministissä järjestelmissä me saatamme olla kyvyttömiä tarkkaan ennustamaan tulevaa, johtuen alkuarvoista riippuvasta herkkyydestä. Mutta Smalen hevosenkengän kaltaisten työkalujen ansiosta me voimme edelleen saada hyödyllistä tietoa näistä järjestelmistä.

 

Artikkelin julkaissut Quanta Magazine